Peut-on ranger ses tiroirs dans ses chaussettes ? Dans ce premier article de notre nouvelle série « Maths pour les nul.le.s », Swan nous explique comment il est possible, en mathématiques, de ranger ses tiroirs dans ses chaussettes.
Quand je range mes chaussettes dans mon armoire, je prends une chaussette parmi toutes celles que j’ai à ranger, et je la mets dans un tiroir. En mathématiques, on appelle ça une fonction (et si je range toutes les chaussettes à ranger, une application) qui associe une chaussette à un tiroir.
Maintenant, on s’imagine dans une dimension parallèle un peu saugrenue, où on a pleiiiin de tiroirs, et qu’on range ses chaussettes dans tous les tiroirs, parce que c’est tout ce qu’on a à ranger, et qu’on a que ça à faire que d’étudier comment on range ses chaussettes. Imaginons un instant qu’on a autant ou moins de chaussettes à ranger que de tiroirs. On va ensuite mettre une chaussette par tiroir, pas plus. A la fin du rangement, quelque soit le tiroir qu’on ouvre, il y aura au plus une chaussette dedans. C’est, en mathématiques, ce qu’on appelle une fonction injective, c’est-à-dire que chaque élément de l’ensemble d’arrivée (le meuble à tiroirs) ne peut être associé au plus qu’à un élément de l’ensemble de départ (le bac à chaussettes).
Maintenant, imaginons qu’on a autant ou plus de chaussettes à ranger que de tiroirs. Ensuite, on va répartir toutes les chaussettes dans tous les tiroirs. A la fin, quelque soit le tiroir qu’on ouvre, il y aura au moins une chaussette par tiroir. C’est, en mathématiques, ce qu’on appelle une fonction surjective, c’est-à-dire que chaque élément de l’ensemble d’arrivée (le meuble à tiroirs) est associé au moins un à élément de l’ensemble de départ (le bac à chaussettes).
Et là, vous vous dites que c’est bizarre qu’en ayant autant de chaussettes que de tiroirs et en rangeant une chaussette par tiroir, on ait à la fois une fonction injective et surjective. Eh bien les mathématiques ont réponse à tout, et on appelle ce genre de fonctions des fonctions bijectives, qui à chaque élément de l’ensemble d’arrivée (le meuble à tiroirs) associent un et un seul élément de l’ensemble de départ (le bac à chaussettes). Et il se trouve que les fonctions bijectives ont une propriété intéressante, à savoir que l’on peut inverser les ensembles de départ et d’arrivée, pour en obtenir la bijection réciproque. Ici, il s’agirait de ranger chaque tiroir dans une chaussette (pour peu qu’on reste dans le cas où on a autant de chaussettes que de tiroirs).
Alors oui, pour peu que vous ayez autant de tiroirs que de chaussettes, vous pouvez ranger vos tiroirs dans vos chaussettes, et ainsi réaliser une bijection de l’ensemble des tiroirs à valeurs dans l’ensemble des chaussettes.
